Depuis plusieurs années, le Rallye Mathématique Transalpin (RMT) propose des mêmes problèmes à des classes de différents niveaux, dans des systèmes scolaires qui peuvent varier sensiblement d'une région ou d'un pays à l'autre, par les programmes, la dotation horaire, la méthodologie, la structure de la langue, ...

Il est intéressant, du point de vue de la recherche en didactique, de vérifier si ces différences ont un effet sur la compréhension des énoncés, sur les procédures de résolution, sur les représentations des élèves, sur les savoirs mobilisés ou, parfois construits, et, en général, sur l'évolution des connaissances des élèves en fonction de leur âge et de leur milieu scolaire.

Les deux rencontres internationales du RMT tenues respectivement à Sienne et à Neuchâtel en 1999 et en 2000, ont été consacrées à l'évolution des connaissances et à l'évaluation des savoirs. Leurs actes, qui réunissent les communications et les résultats des travaux de groupes, se focalisent sur ces aspects importants d'activités mathématiques développées à partir de problèmes résolus dans le cadre d'un concours de mathématiques auquel participent des élèves de 8 à 14 ans. On ne demande pas seulement aux groupes d'élèves de résoudre un certain nombre de problèmes en une durée limitée de 50 minutes, mais aussi et surtout, de justifier leurs réponses. C'est un des aspects caractéristiques du RMT, en lien direct avec les thématiques développées dans les articles de ces actes.

Les élèves peuvent résoudre un problème selon des procédures très différentes de celles qui pourraient sembler les plus efficaces à un adulte et qui impliquent des savoirs implicites, souvent non pris en considération dans l'évaluation des apprentissages. Les élèves peuvent, en outre, rencontrer des obstacles importants en mobilisant précisément des connaissances scolaires non encore transférables dans le contexte d'un problème donné.

Des observations de ce type provenant d'une analyse a grande échelle (environ 2000 classes, de sept pays, participant actuellement au RMT) donnent des informations précieuses sur le degré d'acquisition de certaines connaissances et de certains savoirs, dans la perspective d'une évaluation formative des élèves.

Les actes sont organisés en deux grands chapitres.

Le premier réunit des communications allant de thèmes généraux comme celui de la place qu'occupe le RMT dans le cadre de la théorie des situations didactiques, à des problématiques plus précises de l'apprentissage des mathématiques: celle de l'introduction du concept de fonction (en référence à au moins sept problèmes du RMT), celle de la démonstration (en lien avec le problème de L'héritage), celle de l'analyse fine des procédures de résolution (à partir des deux problèmes: Le rapt de Jasmine et Le marchand de soie).

Le second rend compte des travaux des groupes qui ont analysé des problèmes, sur la base des protocoles de résolution élaborés par les classes de différents pays ayant participé aux 7e et 8e RMT. Il regroupe 12 articles, qui prennent en considération les savoirs et l'évolution des connaissances d'élèves des catégories 3 à 8 (de la troisième année d'école primaire à l'école secondaire ou moyenne).

Certains problèmes étudiés ont été donnés en deux versions: l'une pour les catégories des plus « petits », l'autre pour celles des plus « grands », comme La collection de boîtes et La Course d'obstacles (qui fait l'objet de l'article «Les savoirs dans un problème du RMT»). L'analyse du premier de ces deux problèmes a permis de mettre en évidence une nette évolution dans l'interprétation et la capacité de gestion d'une représentation graphique, ainsi qu'une aptitude des élèves plus âgés à se distancer du «concret». Dans le second cas, l'analyse confirme que, dans la résolution d'un même problème, les savoirs mathématiques mis en oeuvre dépendent non seulement de l'âge des élèves mais aussi des types de procédures suivies.

Dans le domaine de l'arithmétique, plusieurs analyses ont permis d'approfondir quelques notions clés, comme celle de l'opération inverse dans la situation dynamique du Nez de Pinocchio, comme celle de proportionnalité dans Les timbres ou encore la combinatoire dans le problème de La cible.

Dans le domaine de la géométrie, les analyses a posteriori sont également riches d'enseignements. Les travaux du groupe qui a examiné les réponses au problème La traversée du quadrillage font apparaître les obstacles dus à la confrontation de deux unités pour déterminer la longueur d'un chemin. L’article La problématique des conditions d'existence d'un triangle montre la précarité du concept d'inégalité triangulaire, les Stratégies utilisées dans la résolution d'un problème de similitude sont fort diverses, l'article Les deux magots aborde les questions de représentation et de repérage dans le plan.

Dans le domaine plus général du raisonnement logique, l'analyse du problème Le cahier de Quinze montre la difficulté des élèves à organiser un dénombrement et à le justifier, celles des problèmes Gourmands (pour les catégories 3, 4 et 5) et Voisin-voisine (pour la catégorie 8) éclairent les mécanismes de séquences de raisonnements chez les élèves.

 Les troisième et quatrième rencontres de Sienne et Neuchâtel, comme les deux précédentes, de Brigue, répondent à un besoin essentiel des animateurs du RMT: celui de s'accorder un temps de réflexion sur les finalités de cette confrontation internationale, qui prend des dimensions gigantesques et, par conséquent, dont la gestion exige un grand investissement en temps et énergie.

Ces rencontres nous ont permis peu à peu de dégager les priorités d'une activité dédiée à la résolution de problèmes, pour les classes participantes, et à leur analyse, pour les maîtres et animateurs. L’analyse a priori de chaque problème est devenue systématique dès la quatrième édition du concours et dès son extension au delà de sa région d'origine. Pour permettre la comparaison des résultats et, surtout, des stratégies de résolution, il a fallu développer cette analyse a priori, en préciser les rubriques, améliorer sa construction, élargir le cercle de ses rédacteurs. A cet effet, il faut des outils de construction de problèmes. On les trouve certes dans l'expérience et la pratique de chaque animateur, dans la littérature sur le sujet, dans les résultats de la recherche en didactique. On les trouve, aussi, dans les résultats des analyses a posteriori. Celles-ci permettent de juger de la validité des problèmes proposés et de leur analyse a priori, elles constituent une évaluation que l'on pourrait qualifier de « formative » du processus de construction des problèmes. Sans les analyses a posteriori, il n'y aurait pas moyen de progresser, d'améliorer le choix des problèmes, de préciser les savoirs en jeu, de distinguer les représentations sous-jacentes à chaque procédure de résolution, ...

Les actes de ces rencontres sont le reflet de ce processus continu d'élaboration et d'analyse.

Les articles sont rédigés en italien ou en français dans la langue d'origine de leurs auteurs ou des responsables des groupes de travail. Chacun d'eux est suivi d'une traduction dans l'autre langue parfois abrégée, ou d'un résumé substantiel. Pour des raisons d'économie, toutes les figures et tableaux n'ont pas pu être reproduits dans les traductions ou résumés, ce qui exige des références à l'article en langue originale.

Grugnetti, L. & Jaquet, F. (2001). RMT : évolution des connaissances et évaluation des savoirs mathématiques : actes des journées d'études sur le Rallye mathématique transalpin, Siena 1999-Neuchâtel 2000. Neuchâtel : IRDP ; Siena : Università di Siena, Dipartimento di Matematica. ISBN 88-371-1275-0